यदि int {frac{{tan x}}{{1 + tan x + {{tan }^2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{	an x}{1 + 	an x + 	an^2 x} dx$.हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \frac{	an x + 1 + 	an^2 x - (1 + 	an^2 x)}{1 +

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$(2, 3)$

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(A) माना $I = \int \frac{	an x}{1 + 	an x + 	an^2 x} dx$.हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \frac{	an x + 1 + 	an^2 x - (1 + 	an^2 x)}{1 + 	an x + 	an^2 x} dx = \int 1 dx - \int \frac{\sec^2 x}{1 + 	an x + 	an^2 x} dx$.अतः $I = x - \int \frac{\sec^2 x}{1 + 	an x + 	an^2 x} dx$.$	an x = t$ रखने पर,$\sec^2 x dx = dt$ प्राप्त होता है।$I = x - \int \frac{dt}{t^2 + t + 1} = x - \int \frac{dt}{(t + 1/2)^2 + 3/4}$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:$I = x - \frac{1}{\sqrt{3}/2} 	an^{-1} \left( \frac{t + 1/2}{\sqrt{3}/2} ight) + C = x - \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} ight) + C$.$t = 	an x$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = x - \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2 	an x + 1}{\sqrt{3}} ight) + C$.दिए गए रूप $x - \frac{K}{\sqrt{A}} 	an^{-1} \left( \frac{K 	an x + 1}{\sqrt{A}} ight) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 2$ और $A = 3$ प्राप्त होता है।अतः,क्रमित युग्म $(K, A)$ का मान $(2, 3)$ है।

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